角的综合计算(3)——七上期末复习(14)——尖子生之路[七上系列]
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角的综合计算(3)
——七上期末复习(14)
【例1】已知O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC.
初步尝试:(1)如图1,若∠AOC=30°.求∠DOE的度数;
类比探究:(2)在图1中,若∠AOC=a,直接写出∠DOE的度数(用含a的代数式表示);
解决问题:(3)如图2时,O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC,探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系.直接写出你的结论.
【分析】(1)先求∠BOC,根据角平分线的定义,结合角的和差可求出∠DOE;
(2)与(1)类似;
(3)与(1)、(2)类似,依据∠COD是直角,OE平分∠BOC,结合角的和差意义,不难得到∠AOC=180°-2∠COE=2(90°-∠COE),又∠DOE=90°-∠COE,所以∠AOC=2∠DOE.
【解答】(1)由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°,
又∠COD是直角,OE平分∠BOC,
∴∠DOE=∠COD﹣0. 5∠BOC
=90°﹣0. 5×150°=15°.
(2)由(1)知∠DOE=∠COD﹣0. 5∠BOC,∴∠DOE=90°﹣0. 5(180°﹣∠AOC)
=90°﹣90°+0. 5∠AOC
=0. 5∠AOC=0. 5α.
(3)∠AOC=2∠DOE.理由如下:
∵∠COD是直角,OE平分∠BOC,
∴∠COE=∠BOE,∠COB=2∠COE,
∴∠AOC=180°﹣∠COB
=180°﹣2∠COE
=2(90°﹣∠COE),
∵∠DOE=90°﹣∠COE,
∴∠AOC=2∠DOE.
【拓展1】如图1,点O为直线AB上的一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周,在旋转的过程中,假如第t秒时,OA、OC、ON三条射线构成相等的角,求此时t的值为多少?
(2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2,使ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)依题意,得:在第t秒时,三角板转过的角度为10°t,然后再按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论;
(2)根据三角板∠MON=90°,分别表示出∠AOM、∠NOC和∠AON,角的和加即可求出二者之间的数量关系.
【解答】(1)∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转,
∴第t秒时,三角板转过的角度为10°t,
当三角板转到如图①所示时,∠AON=∠CON.
∵∠AON=90°+10°t,
∠CON=∠BOC+∠BON
=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t
∴90°+10°t=210°﹣10°t.即t=6;
当三角板转到如图②所示时,
∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°
∵∠CON=∠BOC﹣∠BON
=120°﹣(10°t﹣90°)=210°﹣10°t
∴210°﹣10°t=60°,即t=15;
当三角板转到如图③所示时,
∠AON=∠CON=0.5∠AOC,
∵∠CON=∠BON﹣∠BOC
=(10°t﹣90°)﹣120°
=10°t﹣210°
∴10°t﹣210°=30°,即t=24;
当三角板转到如图④所示时,
∠AON=∠AOC=60°
∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°
=10°t﹣270°
∴10°t﹣270°=60°,即t=33.
故t的值为6、15、24、33.
(2)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AOM=90°﹣∠AON,
∠NOC=60°﹣∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC
=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)
=30°.
【拓展2】如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°),一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.
(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数.
(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为 (直接写出结果).
(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC的数量关系,并说明理由.
【分析】(1)根据角平分线的定义以及直角的定义,即可求得∠BON的度数;
(2)分两种情况:ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC,分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可;
(3)根据∠MON=90°,∠AOC=70°,分别求得∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=70°﹣∠AON,再根据∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(70°﹣∠AON)进行计算,即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系.
【解答】(1)如图2,
∵OM平分∠BOC,∴∠MOC=∠MOB,
又∵∠BOC=110°,∴∠MOB=55°,
∵∠MON=90°,
∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°;
(2)分两种情况:
①如图2,∵∠BOC=110°,
∴∠AOC=70°,
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时,
∠AOD=∠COD=35°,
∴∠BON=35°,∠BOM=55°,
即逆时针旋转的角度为55°,
由题意得5t=55°.解得t=11(s);
②如图3,当NO平分∠AOC时,
∠NOA=35°,∴∠AOM=55°,
即逆时针旋转的角度为:
180°+55°=235°,
由题意得,5t=235°,
解得t=47(s),
综上所述,t=11s或47s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC;
(3)∠AOM﹣∠NOC=20°.
理由:∵∠MON=90°,∠AOC=70°,
∴∠AOM=90°-∠AON,
∠NOC=70°-∠AON,
∴∠AOM﹣∠NOC
=(90°-∠AON)-(70°-∠AON)
=20°,
∴∠AOM与∠NOC的数量关系为:
∠AOM﹣∠NOC=20°.
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