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角的综合计算(3)——七上期末复习(14)——尖子生之路[七上系列]

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16

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角的综合计算(3)

——七上期末复习(14)


【例1】已知O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC

初步尝试:(1)如图1,若∠AOC=30°.求∠DOE的度数;

类比探究:(2)在图1中,若∠AOCa,直接写出∠DOE的度数(用含a的代数式表示);

解决问题:(3)如图2时,O是直线AB上的一点,∠COD是直角,OE平分∠BOC,探究∠AOC和∠DOE的度数之间的数量关系.直接写出你的结论.

【分析】(1)先求∠BOC,根据角平分线的定义,结合角的和差可求出∠DOE

(2)与(1)类似;

(3)与(1)、(2)类似,依据∠COD是直角,OE平分∠BOC,结合角的和差意义,不难得到∠AOC=180°-2∠COE=2(90°-∠COE),又∠DOE=90°-∠COE,所以∠AOC=2∠DOE

【解答】(1)由已知得∠BOC=180°﹣∠AOC=150°,

又∠COD是直角,OE平分∠BOC

∴∠DOE=∠COD﹣0. 5∠BOC

=90°﹣0. 5×150°=15°.

(2)由(1)知∠DOE=∠COD﹣0. 5∠BOC,∴∠DOE=90°﹣0. 5(180°﹣∠AOC

=90°﹣90°+0. 5∠AOC

=0. 5∠AOC=0. 5α.

(3)∠AOC=2∠DOE.理由如下:

∵∠COD是直角,OE平分∠BOC

∴∠COE=∠BOE,∠COB=2∠COE

∴∠AOC=180°﹣∠COB

=180°﹣2∠COE

=2(90°﹣∠COE),

∵∠DOE=90°﹣∠COE

∴∠AOC=2∠DOE

【拓展1】如图1,点O为直线AB上的一点,过点O作射线OC,使∠BOC=120°.将一直角三角板的直角顶点放在O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针旋转一周,在旋转的过程中,假如第t秒时,OAOCON三条射线构成相等的角,求此时t的值为多少?

(2)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2,使ON在∠AOC的内部,请探究:∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.

【分析】(1)依题意,得:在第t秒时,三角板转过的角度为10°t,然后再按照OAOCON三条射线构成相等的角分四种情况讨论;

(2)根据三角板∠MON=90°,分别表示出∠AOM、∠NOC和∠AON,角的和加即可求出二者之间的数量关系.

【解答】(1)∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转,

∴第t秒时,三角板转过的角度为10°t

当三角板转到如图①所示时,∠AON=∠CON

∵∠AON=90°+10°t

CON=∠BOC+∠BON

=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t

∴90°+10°t=210°﹣10°tt=6;

当三角板转到如图②所示时,

AOC=∠CON=180°﹣120°=60°

∵∠CON=∠BOC﹣∠BON

=120°﹣(10°t﹣90°)=210°﹣10°t

∴210°﹣10°t=60°,即t=15;

当三角板转到如图③所示时,

AON=∠CON=0.5∠AOC,

∵∠CON=∠BON﹣∠BOC

=(10°t﹣90°)﹣120°

=10°t﹣210°

∴10°t﹣210°=30°,即t=24;

当三角板转到如图④所示时,

AON=∠AOC=60°

∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°

=10°t﹣270°

∴10°t﹣270°=60°,即t=33.

t的值为6、15、24、33.

(2)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,

∴∠AOM=90°﹣∠AON

NOC=60°﹣∠AON

∴∠AOM﹣∠NOC

=(90°-∠AON)-(60°-∠AON)

=30°.


【拓展2】如图,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=110°.将一直角三角板的直角顶点放在点O处(∠OMN=30°),一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.

(1)将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC.求∠BON的度数.

(2)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,直线ON恰好平分锐角∠AOC,则t的值为   (直接写出结果).

(3)将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC的数量关系,并说明理由.

【分析】(1)根据角平分线的定义以及直角的定义,即可求得∠BON的度数;

(2)分两种情况:ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC,分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可;

(3)根据∠MON=90°,∠AOC=70°,分别求得∠AOM=90°﹣∠AON,∠NOC=70°﹣∠AON,再根据∠AOM﹣∠NOC=(90°﹣∠AON)﹣(70°﹣∠AON)进行计算,即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系.

【解答】(1)如图2,

OM平分∠BOC,∴∠MOC=∠MOB

又∵∠BOC=110°,∴∠MOB=55°,

∵∠MON=90°,

∴∠BON=∠MON-∠MOB=35°;

(2)分两种情况:

①如图2,∵∠BOC=110°,

∴∠AOC=70°,

当直线ON恰好平分锐角∠AOC时,

AOD=∠COD=35°,

∴∠BON=35°,∠BOM=55°,

即逆时针旋转的角度为55°,

由题意得5t=55°.解得t=11(s);

②如图3,当NO平分∠AOC时,

NOA=35°,∴∠AOM=55°,

即逆时针旋转的角度为:

180°+55°=235°,

由题意得,5t=235°,

解得t=47(s),

综上所述,t=11s或47s时,直线ON恰好平分锐角∠AOC

(3)∠AOM﹣∠NOC=20°.

理由:∵∠MON=90°,∠AOC=70°,

∴∠AOM=90°-∠AON

NOC=70°-∠AON

∴∠AOM﹣∠NOC

=(90°-∠AON)-(70°-∠AON

=20°,

∴∠AOM与∠NOC的数量关系为:

AOM﹣∠NOC=20°.

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